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Test en ligne : Vecteurs

Instructions à consulter avant de répondre aux questions :
Dans ce test, deux types d'actions peuvent vous être demandées :

On vous demande d'entrer la valeur exacte d'un nombre (même si le nombre est égal à 1 ou -1, il faut quand même l'entrer - exemples de syntaxe correcte : 5 ; -1 ; 1/4 ; -2 ; -4/3).
On vous demande de cocher une des réponses proposées (question type QCM)

Après avoir tenté au moins une fois de répondre à une question, on peut accéder à la réponse détaillée de cette question en cliquant sur le bouton "voir solution" (ce bouton n'apparaît qu'après avoir répondu une fois).

Sommaire :

Question n°1
Question n°2
Question n°3
Question n°4
Question n°5
Question n°6
Question n°7
Question n°8
Question n°9

Question n°1

Dans la figure ci-dessous, $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.

Répondre aux trois questions suivantes :

Le vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ est égal à	$\overrightarrow{DB}$	$\overrightarrow{AO}$	$\overrightarrow{AC}$
Le vecteur $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}$ est égal à	$\overrightarrow{AB}$	$\overrightarrow{AD}$	$\overrightarrow{0}$
Le vecteur $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{BA}$ est égal à	$\overrightarrow{OA}$	$\overrightarrow{OB}$	$\overrightarrow{OC}$

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Solution :
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$, donc $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}$.

Question n°2

Dans la figure ci-dessous, $ACDF$ est un parallèlogramme, $B$ est le milieu de $[AC]$ et $E$ est le milieu de $[FD]$.

Répondre aux trois questions suivantes :

Le vecteur $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}$ est égal à	$\overrightarrow{BE}$	$\overrightarrow{BF}$	$\overrightarrow{EB}$
Le vecteur $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{AE}$ est égal à	$\overrightarrow{FA}$	$\overrightarrow{AD}$	$\overrightarrow{AF}$
Le vecteur $\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}$ est égal à	$\overrightarrow{BA}$	$\overrightarrow{BD}$	$\overrightarrow{CF}$

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Solution :
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}$, donc $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BE}$.
$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{ED}$, donc $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EF}$, donc $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BF}$.
Ainsi, $\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BA}$

Question n°3

Dans la figure ci-dessous, $AB=BC=CD$.

Compléter les égalités suivantes en insérant les bons entiers.

$\overrightarrow{AC}=$$\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CA}=$$\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{DA}=$$\overrightarrow{AB}$

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Solution :$
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont même direction et $AC=2AB$, donc $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont même direction. Ils sont de sens contraire et $CA=2CD$. Donc, $\overrightarrow{CA}=-2 \overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont même direction. Ils sont de sens contraire et $DA=3AB$. Donc, $\overrightarrow{DA}=-3 \overrightarrow{AB}$.

Question n°4

Dans la figure ci-dessous, $AB=1$, $BC=2$ et $CD=4$.

Compléter les égalités suivantes en insérant les bons entiers.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$$\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=$$\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}=$$\overrightarrow{AB}$

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Solution :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}$.

Question n°5

En utilisant la relation de Chasles, simplifier les deux expressions suivantes et indiquer le bon résultat.

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CD}=$	$\overrightarrow{DB}$	$\overrightarrow{BD}$	$\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=$	$\overrightarrow{CA}$	$\overrightarrow{CB}$	$\overrightarrow{0}$

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Solution :
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$
$\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

Question n°6

Etant donné deux points $A$ et $B$, on considère le point $M$ tel que $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$.
En utilisant la relation de Chasles, déterminer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AM}=$ $\overrightarrow{AB}$

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Solution :
On décompose $\overrightarrow{MB}$ de façon à faire apparaître le point $A$.
Ce qui donne : $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$.
Ainsi, $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow -\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$.

Question n°7

Etant donné deux points $B$ et $C$, on considère le point $N$ tel que $4\overrightarrow{NB}-5\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$.
En utilisant la relation de Chasles, déterminer $\overrightarrow{BN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BN}=$ $\overrightarrow{BC}$

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Solution :
On décompose $\overrightarrow{NC}$ de façon à faire apparaître le point $B$.
Ce qui donne : $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}$.
Ainsi, $4\overrightarrow{NB}-5\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{NB}-5(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{0}$
$ \Leftrightarrow 4\overrightarrow{NB}-5\overrightarrow{NB}-5\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -\overrightarrow{NB}-5\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN}=5\overrightarrow{BC}$

Question n°8

Etant donné un triangle $ABC$, on considère le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}$.
On cherche à montrer que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
Pour cela, exprimer $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{CB}$ en utilisnat que $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$.
Indiquer alors le résultat obtenu ci-dessous :
$\overrightarrow{BD}=$ $\overrightarrow{CB}$

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Solution :
Avec le point $D$ l'énoncé donne $\overrightarrow{AD}$. On va donc décomposer $\overrightarrow{BD}$ en faisant apparaître $\overrightarrow{AD}$.
Ce qui donne, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}$
$=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{CB}$.
On prouve ainsi que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont colinéaires et, donc, que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.

Question n°9

Etant donné un triangle $ABC$, on considère les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BN}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}$.
On cherche à montrer que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles en prouvant que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Pour cela utiliser que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}$. En déduire alors $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et indiquer le résultat ci-dessous:
$\overrightarrow{MN}=$ $\overrightarrow{AC}$

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Solution :
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}$
$=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=2\overrightarrow{AC}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont bien colinéaires. On peut en déduire que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.

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