Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) $, $ B \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} -3 \\ 7 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $2\overrightarrow{CB}$ et insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse de $\overrightarrow{AB}$ est égale à :
L'ordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est égale à :
L'abscisse de $2\overrightarrow{CB}$ est égale à :
L'ordonnée de $2\overrightarrow{CB}$ est égale à :

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 4-1 \\ 1-(-3) \end{array} \right) = \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) $
$ \overrightarrow{CB} \left( \begin{array}{c} 4-(-3) \\ 1-7 \end{array} \right) = \overrightarrow{CB} \left( \begin{array}{c} 7 \\ -6 \end{array} \right) $. Donc, $2\overrightarrow{CB} \left( \begin{array}{c} 14 \\ -12 \end{array} \right) $.
Il faut insérer les nombres 3, 4, 14 et -12.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ -2 \end{array} \right) $ et $ B \left( \begin{array}{c} \frac{7}{2} \\ 2 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et la distance $AB$, puis insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse de $I$ est égale à :
L'ordonnée de $I$ est égale à :
La distance $AB$ est égale à :

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$x_I=\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{7}{2} \right)=2$ et $y_I=\dfrac{1}{2} (-2+2)=0$.
$AB=\sqrt{\left[ \dfrac{7}{2}- \dfrac{1}{2} \right]^2 +\left[ 2-(-2) \right]^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Il faut insérer les nombres 2, 0 et 5.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les vecteurs $ \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} -5 \\ 7 \end{array} \right) $ et $ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$, puis insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse de $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est égale à
L'oronnée de $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est égale à
L'abscisse de $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$ est égale à :
L'ordonnée de $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$ est égale à :

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$ \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} -5+(-1) \\ 7+6 \end{array} \right) = \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} -6 \\ 13 \end{array} \right) $
$ 2\overrightarrow{u}-3 \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} 2 \times (-5)-3 \times (-1) \\ 2 \times 7-3 \times 6 \end{array} \right) = 2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} -7 \\ -4 \end{array} \right) $.
Il faut insérer les nombres -6, 13, -7 et -4.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les vecteurs $ \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right) $ et $ \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array} \right) $.
Cocher la bonne proposition ci-dessous :
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont :
colinéaires
non colinéaires
     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$ \mathrm{det} (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} )=\left | \begin{array}{cc} -\frac{2}{3} & 4 \\ \frac{1}{2} & -3 \end{array} \right | =\left(-\frac{2}{3} \right) \times (-3)-\frac{1}{2} \times 4=2-2=0 $.
On en déduit que les vecteurs sont colinéaires.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right) $, $ B \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} 7 \\ 9 \end{array} \right) $.
Cocher la bonne proposition ci-dessous :
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont :
colinéaires
non colinéaires
     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
$ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 2-(-1) \\ -1-3 \end{array} \right) = \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right) $
$ \overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} 7-(-1) \\ 9-3 \end{array} \right) = \overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array} \right) $
$ \mathrm{det} (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} )=\left | \begin{array}{cc} 3 & 8 \\ -4 & 6 \end{array} \right | =3 \times 6 - (-4) \times 8=50 \neq 0 $
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right) $ et $ B \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$, puis insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse du point $M$ est égale à :
L'ordonnée du point $M$ est égale à :

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
Posons $ M \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) $.
$ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 1-(-4) \\ 5-6 \end{array} \right) = \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 5 \\ -1 \end{array} \right) $. Donc, $3\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 15 \\ -3 \end{array} \right) $.
$ \overrightarrow{AM} \left( \begin{array}{c} x-(-4) \\ y-6 \end{array} \right) = 3\overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 15 \\ -3 \end{array} \right) \Leftrightarrow x+4=15 $ et $y-6=-3$.
On en déduit que $x=11$ et $y=3$.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) $, $ B \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées des points $D$ et $E$ tels que $ABCD$ et $ABEC$ soient des parallélogrammes et insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse du point $D$ est égale à :
L'ordonnée du point $D$ est égale à :
L'abscisse du point $E$ est égale à :
L'ordonnée du point $E$ est égale à :

     

< Retour au sommaire | Question suivante >

Solution :
Recherche des coordonnées de $D$ : on pose $D \left( \begin{array}{c} x_D \\ y_D \end{array} \right) $.
$ABCD$ parallélogramme $\Leftrightarrow \overrightarrow{CD} \left( \begin{array}{c} x_D-3 \\ y_D-1 \end{array} \right) = \overrightarrow{BA} \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$
$\Leftrightarrow x_D-3=-1 $ et $y_D-1=-1$.
On en déduit que $x_D=2$ et $y_D=0$.

Recherche des coordonnées de $E$ : on pose $E \left( \begin{array}{c} x_E \\ y_E \end{array} \right) $.
$ABEC$ parallélogramme $\Leftrightarrow \overrightarrow{CE} \left( \begin{array}{c} x_E-3 \\ y_E-1 \end{array} \right) = \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$
$ \Leftrightarrow x_E-3=1 $ et $y_E-1=1$.
On en déduit que $x_E=4$ et $y_E=2$.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $ A \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array} \right) $ et $ B \left( \begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array} \right) $.
Calculer les coordonnées du point $N$ tel que $3\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{BN}$, puis insérer vos réponses ci-dessous :
L'abscisse du point $N$ est égale à :
L'ordonnée du point $N$ est égale à :

     

< Retour au sommaire >

Solution :
Posons $ N \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) $.
$ 3\overrightarrow{AN} \left( \begin{array}{c} 3(x-(-2)) \\ 3(y-3) \end{array} \right) = 2\overrightarrow{BN} \left( \begin{array}{c} 2(x-1) \\ 2(y-(-4)) \end{array} \right)$
$ \Leftrightarrow 3x+6=2x-2 $ et $3y-9=2y+8$.
On en déduit que $x=-8$ et $y=17$.