Xm1 Math

Test en ligne : Produit scalaire

Instructions à consulter avant de répondre aux questions :
Dans ce test, deux types d'actions peuvent vous être demandées :

On vous demande d'entrer la valeur exacte d'un nombre (exemples de syntaxe correcte : 5 ; 1/4 ; -4/3 ; Rac(2)).
On vous demande de cocher une des réponses proposées (question type QCM)

Après avoir répondu à la question, cliquer sur le bouton "Soumettre votre réponse" pour savoir si vos réponses sont justes ou fausses.
Après avoir tenté au moins une fois de répondre à une question, on peut accéder à la réponse détaillée de cette question en cliquant sur le bouton "voir solution" (ce bouton n'apparaît qu'après avoir répondu une fois).

Pour toutes les questions, le plan est muni d'un repère orthonormé.

Sommaire :

Question n°1
Question n°2

Question n°1

On considère la configuration suivante :

Indiquer ci-dessous les valeurs des produits scalaires demandés :
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = $
$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{DB} =$
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =$
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} =$

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Solution :

$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $	$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} $	(car $\overrightarrow{AC}$ se projette orthogonalement en $\overrightarrow{AH}$ sur $ (AB) $)
	$ =AB \times AH $	(car $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AH} $ sont colinéaires et de même sens)
	$ =6 \times 4=24 $

$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{DB} $	$= \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{HB} $	(car $\overrightarrow{DB}$ se projette orthogonalement en $\overrightarrow{HB}$ sur $ (AB) $)
	$ =-BA \times HB $	(car $ \overrightarrow{BA} $ et $ \overrightarrow{HB} $ sont colinéaires et de sens contraires)
	$ =-6 \times 2=-12 $

$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} $	$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} $	(car $\overrightarrow{AE}$ se projette orthogonalement en $\overrightarrow{AG}$ sur $ (AB) $)
	$ =-AB \times AG $	(car $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AG} $ sont colinéaires et de sens contraires)
	$ =-6 \times 2=-12 $

$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} $	$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HG} $	(car $\overrightarrow{DE}$ se projette orthogonalement en $\overrightarrow{HG}$ sur $ (AB) $)
	$ =-AB \times HG $	(car $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{HG} $ sont colinéaires et de sens contraires)
	$ =-6 \times 6=-36 $

Question n°2

Soit $ A \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \end{array} \right) $ , $ B \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right) $ et $ C \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) $.
Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $ et les distances $ AB $ et $ AC $. En déduire la valeur de $ \cos \widehat{BAC} $.
Indiquer alors ci-dessous les valeurs exactes trouvées.
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= $
$ AB= $
$ AC= $
$ \cos \widehat{BAC} =$

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Solution :
$ \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) $ et $ AB=\sqrt{3^2+4^2}=5 $
$ \overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right) $ et $ AC=\sqrt{4^2+0^2}=4 $.
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3 \times 4 + 4 \times 0=12 $, donc $ \cos \widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}=\dfrac{12}{5 \times 4}=\dfrac{3}{5} $.
Il faut entrer 12 , 5 , 4 et 3/5.

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