Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+5$. On a $f^{\prime}(x)=2x-4$ qui est du premier degré et qui s'annule pour $x=2$. Sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
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Solution : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+5$ et $f^{\prime}(x)=2x-4$. $2x-4$ est du premier degré et s'annule pour $x=2$. On applique donc la règle : "signe de $a=2$ (donc $+$) après le $0$". D'où le tableau de variations :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2-6x+7$. On a $f^{\prime}(x)=-6x-6$ qui est du premier degré et qui s'annule pour $x=-1$. Sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
Solution : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2-6x+7$ et $f^{\prime}(x)=-6x-6$. $2x-4$ est du premier degré et s'annule pour $x=-1$. On applique donc la règle : "signe de $a=-6$ (donc $-$) après le $0$". D'où le tableau de variations :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5}{2x^2+2}$. On a $f^{\prime}(x)=\dfrac{2x(2x^2+2)-(x^2+5)(4x)}{\left(2x^2+2\right)^2}=\dfrac{4x^3+4x-4x^3-20x}{\left(2x^2+2\right)^2}=\dfrac{-16x}{\left(2x^2+2\right)^2}$. Le dénominateur est strictement positif puisque c'est un carré. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $-16x$. A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
Solution : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5}{2x^2+2}$ et $f^{\prime}(x)=\dfrac{-16x}{\left(2x^2+2\right)^2}$. Le dénominateur est un carré donc positif pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. Donc, $f^{\prime}(x)$ est du même signe que $-16x$. $-16x$ est du premier degré et s'annule pour $x=0$. On applique donc la règle : "signe de $a=-16$ (donc $-$) après le $0$". D'où le tableau de variations :
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]2;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$. $f^{\prime}(x)=\dfrac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+5)(1)}{\left(x-2\right)^2}$$=\dfrac{2x^2-4x-4x+8-x^2+4x-5}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}$. Le dénominateur est strictement positif puisque c'est un carré. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui du numérateur qui est du second degré. Discriminant de $x^2-4x+3$ : $\Delta=(-4)^2-4(1)(3)=4 \gt 0$. Racines : $x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$. Comme $f$ n'est définie que sur $\left]2;+\infty\right[$, $3$ est la seule valeur qui intervient dans le tableau de variations. A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
Solution : $f$ est définie sur $\left]2;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$ et $f^{\prime}(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}$. Le dénominateur est un carré donc positif pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. Donc, $f^{\prime}(x)$ est du même signe que $x^2-4x+3$ qui est du second degré. Or le discriminant de $x^2-4x+3$ est égal à $4$ (donc strictement positif) et $1$ et $3$ sont les deux racines. On applique donc la règle : "signe de $a=1$ (donc $+$) à l'extérieur des racines". (et $-$ à l'intérieur des racines) L'intervalle $\left]2;3\right[$ se trouve à l'intérieur des racines et $\left]3;+\infty\right[$ à l'extérieur. D'où le tableau de variations :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x^2-36x+1$. On a $f^{\prime}(x)=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)$. Le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $x^2-x-6$. Discriminant de $x^2-x-6$ : $\Delta=(-1)^2-4(1)(-6)=25 \gt 0$. Racines : $x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+5}{2}=3$. A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
Solution : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x^2-36x+1$ et $f^{\prime}(x)=6(x^2-x-6)$. Donc, $f^{\prime}(x)$ est du même signe que $x^2-x-6$ qui est du second degré. Or le discriminant de $x^2-x-6$ est égal à $25$ (donc strictement positif) et $-2$ et $3$ sont les deux racines. On applique donc la règle : "signe de $a=1$ (donc $+$) à l'extérieur des racines". (et $-$ à l'intérieur des racines) D'où le tableau de variations :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+5x^2-3x-2$ . On a $f^{\prime}(x)=-3x^2+10x-3$. Discriminant de $-3x^2+10x-3$. : $\Delta=10^2-4(-3)(-3)=64 \gt 0$. Racines : $x_1=\dfrac{-10-8}{-6}=3$ et $x_2=\dfrac{-10+8}{-6}=\dfrac{1}{3}$. A partir de ces indications, sélectionnez dans le tableau ci-dessous les bons signes pour $f'(x)$, puis cliquez sur "Soumettre votre réponse".
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Solution : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+5x^2-3x-2$ et $f^{\prime}(x)=-3x^2+10x-3$. Or le discriminant de $-3x^2+10x-3$ est égal à $64$ (donc strictement positif) et $\dfrac{1}{3}$ et $3$ sont les deux racines. On applique donc la règle : "signe de $a=-3$ (donc $-$) à l'extérieur des racines". (et $+$ à l'intérieur des racines) D'où le tableau de variations :
